Question

18．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、BC于點D、E．圖①②③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．
（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關(guān)系，以圖②為例，加以說明．
（2）△PBE是否能成為等邊三角形？若能，直接寫出∠PEB的度數(shù)．若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：PD=PE．如圖②中，連接PC．只要證明△DPC≌△EPB，即可解決問題．
（2）不可能．理由：∠PBE=45°或135°．

解答 解：（1）結(jié)論：PD=PE．
理由：如圖②中，連接PC．
∵∠C=90°，AC=BC，AP=PB，
∴PC=PA=PB，CP⊥AB，∠PCA=∠PCB=∠B=45°，
∵∠DPE=∠CPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{∠DCP=∠B}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB，
∴PD=PE．

（2））△PBE不可能是等邊三角形．
利用：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠PBE=45°或135°，
∴△PBE不可能是等邊三角形．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．