Question

14．如圖，過y軸上一點(diǎn)P（0，1）作平行于x軸的直線PB，分別交函數(shù)y₁=x²（x≥0）與y₂=$\frac{{x}^{2}}{3}$（x≥0）的圖象于A₁，B₁兩點(diǎn)，過點(diǎn)B₁作y軸的平行線交y₁的圖象于點(diǎn)A₂，再過A₂作直線A₂B₂∥x軸，交y₂的圖象于點(diǎn)B₂，依次進(jìn)行下去，連接A₁A₂，B₁B₂，A₂A₃，B₂B₃，…，記△A₂A₁B₁的面積為S₁，△A₂B₁B₂的面積為S₂，△A₃A₂B₂的面積為S₃，△A₃B₂B₃的面積為S₄，…則S₂₀₁₆=3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1）．

Answer 1

分析 先根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)依次求出A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃、A₄、B₄的坐標(biāo)，從而求得A₁B₁、A₂B₁、A₂B₂、A₃B₂、A₃B₃、A₄B₃的長，再由三角形面積公式求出S₁、S₂、S₃、S₄、S₅的值，即可知S₃=3$\sqrt{3}$S₁、S₅=3$\sqrt{3}$S₃，…，據(jù)此規(guī)律解答即可．

解答 解：如圖，

當(dāng)y=1時(shí)，由x²=1 （x≥0），得：x=1，即點(diǎn)A₁（1，1），
由$\frac{{x}^{2}}{3}$=1（x≥0），得：x=$\sqrt{3}$，即B₁（$\sqrt{3}$，1），
當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，y=x²=（$\sqrt{3}$）²=3，即A₂（$\sqrt{3}$，3），
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$-1、A₂B₁=2；
當(dāng)y=3時(shí)，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=3（x≥0），得：x=3，即B₂（3，3），
當(dāng)x=3時(shí)，y=x²=3²=9，即A₃（3，9），
∴A₂B₂=3-$\sqrt{3}$、A₃B₂=6；
當(dāng)y=9時(shí)，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=9（x≥0），得：x=3$\sqrt{3}$，即B₃（3$\sqrt{3}$，9），
∴A₃B₃=3$\sqrt{3}$-3；
當(dāng)x=3$\sqrt{3}$時(shí)，y=x²=（3$\sqrt{3}$）²=27，即A₄（3$\sqrt{3}$，27），
∴A₄B₃=18；
當(dāng)y=27是，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=27（x≥0），得：x=9，即B₄（9，27），
∴A₄B₄=9-3$\sqrt{3}$；
則S₁=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{3}$-1，
S₂=$\frac{1}{2}$×2×（3-$\sqrt{3}$）=3-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-1），
S₃=$\frac{1}{2}$×6×（3-$\sqrt{3}$）=3（3-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-1），
S₄=$\frac{1}{2}$×6×（3$\sqrt{3}$-3）=9（$\sqrt{3}$-1），
S₅=$\frac{1}{2}$×18×（3$\sqrt{3}$-3）=27（3$\sqrt{3}$-3）=（3$\sqrt{3}$）²×（$\sqrt{3}$-1），
∴S₂₀₁₅=$（3\sqrt{3}）^{\frac{2015-1}{2}}$×（$\sqrt{3}$-1）=（3$\sqrt{3}$）¹⁰⁰⁷（$\sqrt{3}$-1），
S₂₀₁₆=$\sqrt{3}$•S₂₀₁₅=（3$\sqrt{3}$）¹⁰⁰⁷（$\sqrt{3}$-1）×$\sqrt{3}$=3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1），
故答案為：3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征和數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)拋物線解析式求得各點(diǎn)坐標(biāo)是求面積的根本，列出各三角形的面積發(fā)掘其中變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．