Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l：y=-x-1，雙曲線y=$\frac{1}{x}$，在直線l上取點(diǎn)A₁，過(guò)點(diǎn)A₁作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₁，過(guò)點(diǎn)B₁作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)A₂，過(guò)點(diǎn)A₂作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₂，過(guò)點(diǎn)B₂作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)A₃…，這樣依次得到直線l上的點(diǎn)A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，…若點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A₁（2，-3），由A₁B₁⊥x軸得到B₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B₁（2，$\frac{1}{2}$），同理依次得到A₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），B₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），A₃（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），B₃（-$\frac{1}{3}$，-3），A₄（2，-3），則可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A₁與點(diǎn)A₄的坐標(biāo)相同，而2015=3×671+2，于是利用規(guī)律得到點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為與點(diǎn)A₂的坐標(biāo)相同，即A₂₀₁₅（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：當(dāng)x=2時(shí)，y=-x-1=-3，則A₁（2，-3），
∵A₁B₁⊥x軸，
∴B₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$，則B₁（2，$\frac{1}{2}$），
同理，當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時(shí)，-x-1=$\frac{1}{2}$，解得x=-$\frac{3}{2}$，則A₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{3}$，則B₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
當(dāng)y=-$\frac{2}{3}$時(shí)，-x-1=-$\frac{2}{3}$，解得x=-$\frac{1}{3}$則A₃（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，y=$\frac{1}{x}$=-3，則B₃（-$\frac{1}{3}$，-3），
當(dāng)y=-3時(shí)，-x-1=-3，解得x=2，則A₄（2，-3），
而2015=3×671+2，
∴點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為與點(diǎn)A₂的坐標(biāo)相同，
即A₂₀₁₅（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．