Question

如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求證：△BCE≌△ACD；  ②求證：CF=CH；  ③判斷△CFH的形狀并說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵ BC=AC  ∠BCE=∠ACD  CE=CD

∴△BCE≌△ACD （SAS）．              

（2） ∵ △ABC和△CDE都是等邊三角形 ∴ AC=BC，CD=CE，∠BCE=∠ACD=120º

∴ △ECB≌△DCA

 ∴ ∠FEC=∠ADC，CD=CE

∵ ∠HCD=∠FCE=60º

∴ △ECF≌△DCH

∴ CF=CH                           

（3）由(1)知△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH，BC=AC

又∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上

∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF

∴在△BCF和△ACH中, 

∴△BCF≌△ACH (ASA)

∴CF=CH又∵∠FCH=60°∴△CHF為等邊三角形

∴∠FHC=∠HCD=60°∴FH‖BD