Question

如圖1，以△ABC的邊AB，AC為腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M為BC邊的中點，MA的延長線交DE于N
（1）當∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°時，線段AM線段DE的關(guān)系是（    ）。
（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，探究線段AM與線段DE的關(guān)系。
（3）如圖3，當∠BAC≠90°時，∠BAE=嵐，∠CAD=（180﹣а）°，則線段DE與AM的大小關(guān)系怎樣？其夾角∠DNM是多少？請給出證明．

Answer 1

解：（1）DE=2AM且AM⊥DE。
理由如下：
∵AB=AE，∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED，∠ABM=∠AEN，
∵M為BC邊的中點，
∴BC=2AM，
∴DE=2AM；
∴AM=BM=CM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠BAM=∠AEN，
∵∠BAM+∠EAN=90°，
∴∠AEN+∠EAN=90°，
∴∠ANE=90°，
∴AM⊥DE；
即DE=2AM，AM⊥DE；
（2）DE=2AM且AM⊥ED。理由如下：
延長AM到K，使MK=AM，連BK，則ABKC是平行四邊形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°，
∵∠DAC=∠EAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK=DE，∠BAK=∠AED
∴DE=2AM，
∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥ED；
（3）DE=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。理由如下：
延長AM到P，使MP=MA，連接BP
又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD；∠BPM=∠CAM；
且∠PBM=∠ACM，
∴BP⊥AC，∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=а°+（180﹣а）°=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠DAE，
又∵BP=AD，AB=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA=DE，∠BPA=∠ADE=∠CAM，
∴DE=2AM，
∠DNM=180度﹣（∠ADE+∠DAN）=180度﹣（∠CAM+∠DAN）=∠DAC=（180﹣а）°
即E=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。
故答案為：DE=2AM且AM⊥DE。