Question

已知，如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別是E、F。

求證：（1）AE=AF，AD平分∠EDF；

（2）請你猜想，AD與EF有何關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

證明：（1）在△AED和△AFD中，∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠EAD=∠FA，又DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED=∠AFD=90°，AD為公共邊，∠ADE=∠ADF

∴△AED≌△AFD（ASA）

∴AE=AF

又∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠EDF

（2）AD與EF垂直

在△AEO和△AFO中

AE=AF，∠EAO=∠FAO，OA為公共邊

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF，而∠AOE+∠AOF=180°，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AO⊥EF即AD⊥EF。