Question

11．如圖（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD₁E₁，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD₁與CE₁的交點為P．
（1）求證：BD₁=CE₁；
（2）當(dāng)∠CPD₁=2∠CAD₁時，求CE₁的長；
（3）連接PA，△PAB面積的最大值為2+2$\sqrt{3}$．（直接填寫結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)得到△ABD₁≌△ACE₁的條件即可；
（2）由（1）的結(jié)論，在利用勾股定理計算即可；
（3）作出輔助線，利用勾股定理建立方程求出即可．

解答 解：（1）在△ABD₁和△ACE₁中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CA{E}_{1}=∠BA{D}_{1}}\\{A{E}_{1}=A{D}_{1}}\end{array}\right.$            
∴△ABD₁≌△ACE₁
∴BD₁=CE₁                   
（2）延長BA交D₁E₁于F，如圖，

由（1）知△ABD₁≌△ACE₁，
可證∠CPD₁=90°
∴∠CAD₁=45°，
∴∠BAD₁=135°
∴∠D₁AF=45°=∠AD₁E₁，
∴AF=D₁F=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{AD}_{1}}^{2}{+A{E}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
∵∠AFD₁=90°，
∴BD₁=2$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．
（3）如圖

作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，
∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，
則BD1=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABP=30°，
∴PB=2+2$\sqrt{3}$，
∴點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+$\sqrt{3}$．
∴△PAB的面積最大值為$\frac{1}{2}$AB×PG=2+2$\sqrt{3}$，
故答案為2+2$\sqrt{3}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理得應(yīng)用，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．