Question

11．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F，使∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠CFE
（1）求證：∠BAF=∠CAD；
（2）求證：AD∥BE；
（3）若BF平分∠ABC，請(qǐng)寫(xiě)出∠AFB與∠CAF的數(shù)量關(guān)系2∠AFB+∠CAF=180°．．（不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BAC=∠DAE，運(yùn)用等式性質(zhì)即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，進(jìn)而得到∠BAF=∠CAD；
（2）根據(jù)∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根據(jù)∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，進(jìn)而判定AD∥BE；
（3）根據(jù)AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根據(jù)BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根據(jù)∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根據(jù)AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，進(jìn)而得到2∠AFB+∠CAF=180°．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF=∠CAD；

（2）∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，
∴∠B=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BE；

（3）如圖2，∵AD∥BE，
∴∠E=∠1=∠2，
∵BF平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，
∴∠AFB=3+∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，
即2∠AFB+∠CAF=180°．
故答案為：2∠AFB+∠CAF=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．