Question

如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD=16．點E是AB的中點，P、Q是BD上的動點，且始終保持PQ=2．則四邊形AEPQ周長的最小值為

 

．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：將菱形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，根據(jù)題意得出A、B、E三點的坐標(biāo)，將A平行向左移動2個單位到A'點，作A'關(guān)于x軸的對稱點F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，此時四邊形AEPQ的周長最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：如圖所示：
將菱形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，
∵菱形ABCD的邊長是10，對角線BD=16，點E是AB的中點，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動2個單位到A'點，則A'（6，6），作A'關(guān)于x軸的對稱點F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，
此時，四邊形AEPQ的周長最小，
∵AE=

AB

2

=5，PQ=2，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，
∴四邊形四邊形AEPQ的周長=5+2+

(4-6)2+(3+6)2

=7+

85

．
故答案為：7+

85

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．