Question

12．已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．連接PQ、MQ、MC．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出關(guān)于t的比例式，求解即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，列出關(guān)于t的比例式，表示出PD的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PD，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出$PD=\frac{3}{5}（4-t）$，$CD=\frac{4}{5}（4-t）$，再根據(jù)△PDQ∽△QEM，得到$\frac{PD}{QE}=\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ，進(jìn)而得到方程${（\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t）^2}$=$（\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t）（\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t）$，求得$t=\frac{3}{2}$或t=0（舍去），即可得出當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時(shí)，PQ⊥MQ．

解答 解：（1）如圖所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，則有$\frac{CP}{PA}=\frac{CQ}{QB}$，
∵CQ=PA=t，CP=4-t，QB=5-t，
∴$\frac{4-t}{t}=\frac{t}{5-t}$，
即20-9t+t²=t²，
解得$t=\frac{20}{9}$，
當(dāng)$t=\frac{20}{9}$時(shí)，PQ∥AB；  

（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{PD}{BA}$，
當(dāng)t=3時(shí)，CP=4-3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴$\frac{1}{5}=\frac{PD}{3}$，
∴$PD=\frac{3}{5}$，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴${S_{△QMC}}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{5}=\frac{9}{10}$；
   
（3）存在時(shí)刻$t=\frac{3}{2}$，使PQ⊥MQ，
理由如下：如圖所示，過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{PD}{BA}=\frac{CD}{CA}$，
∵BA=3，CP=4-t，BC=5，CA=4，
∴$\frac{4-t}{5}=\frac{PD}{3}=\frac{CD}{4}$，
∴$PD=\frac{3}{5}（4-t）$，$CD=\frac{4}{5}（4-t）$．
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴$\frac{PD}{QE}=\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ．
∵$EM=PD=\frac{3}{5}（4-t）=\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t$，
$DQ=CD-CQ=\frac{4}{5}（4-t）-t=\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t$，
$QE=DE-DQ=5-[\frac{4}{5}（4-t）-t]=\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t$，
∴${（\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t）^2}$=$（\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t）（\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t）$，
即2t²-3t=0，
∴$t=\frac{3}{2}$或t=0（舍去），
∴當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時(shí)，PQ⊥MQ．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．