Question

19．如圖1，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．
（1）求證：AC•CD=PC•BC；
（2）若⊙O半徑為5，當(dāng)點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求出這個最大面積S；
（3）如圖2，設(shè)CD與⊙O相交于點M，CP交直徑AB于Q，PM交BC于N．若AQ=9，BQ=16，CQ=12，求BD及MN的長．

Answer 1

分析 （1）要證AC•CD=PC•BC，只需證$\frac{CA}{CP}=\frac{CB}{CD}$，只需證△ACB∽△PCD；
（2）設(shè)AC=3x，則有BC=4x，AB=5x=10，從而可求出x，即可求出AC、BC，△ABC的面積，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△PCD}}$=（$\frac{AC}{PC}$）²，即可得到S△PCD=$\frac{2}{3}$PC²．要求△PCD面積的最大值，只需求出PC的最大值即可；
（3）連接OC，如圖2．易證PM是⊙O的直徑，即PM經(jīng)過點O．由AQ=9，BQ=16，可求出AB、OA、OQ，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CQO=90°，即可得到AB∥CD，根據(jù)平行線分線段成比例可得$\frac{CQ}{CP}=\frac{DB}{DP}$．根據(jù)垂徑定理可得CQ=PQ=$\frac{1}{2}$PC，從而可得PC=2CQ=24，DB=$\frac{1}{2}$DP．由$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{3}{4}$可求出CD，根據(jù)勾股定理可求出PD，從而可求出DB，在Rt△PCM中運用勾股定理可求出CM．由CM∥OB可得△CNM∽△BNO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MN．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD=90°．
∵∠CAB=∠CPD，
∴△ACB∽△PCD，
∴$\frac{CA}{CP}=\frac{CB}{CD}$，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）設(shè)AC=3x，
∵$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，∴BC=4x，
∴AB=5x=10，
∴x=2，
∴AC=6，BC=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24．
∵△ACB∽△PCD，
∴$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△PCD}}$=（$\frac{AC}{PC}$）²，
∴$\frac{24}{{S}_{△PCD}}$=$\frac{36}{P{C}^{2}}$，
∴S_△PCD=$\frac{2}{3}$PC²．
∴當(dāng)PC最大即PC為⊙O直徑時，S_△PCD最大，
此時PC=10，S_△PCD=$\frac{2}{3}$×100=$\frac{200}{3}$；

（3）連接OC，如圖2．
∵∠PCD=90°，∴PM是⊙O的直徑，
∴PM經(jīng)過點O．
∵AQ=9，BQ=16，
∴AB=25，OA=$\frac{25}{2}$，OQ=$\frac{25}{2}$-9=$\frac{7}{2}$．
∵CQ=12，OC=$\frac{25}{2}$，
∴OQ²+CQ²=（$\frac{7}{2}$）²+12²=$\frac{625}{4}$=OC²，
∴∠CQO=90°，
∴∠CQB+PCD=180°，
∴AB∥CD，
∴$\frac{CQ}{CP}=\frac{DB}{DP}$．
∵∠CQO=90°即AB⊥CP，
∴CQ=PQ=$\frac{1}{2}$PC．
∴PC=2CQ=24，DB=$\frac{1}{2}$DP．
∵$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{3}{4}$，
∴CD=32，
∴PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=40，DB=$\frac{1}{2}$DP=20．
在Rt△PCM中，
∵PC=24，PM=AB=25，
∴CM=$\sqrt{P{M}^{2}-P{C}^{2}}$=7．
∵CM∥OB，
∴△CNM∽△BNO，
∴$\frac{CM}{BO}$=$\frac{MN}{NO}$，
∴$\frac{7}{\frac{25}{2}}$=$\frac{MN}{\frac{25}{2}-MN}$，
解得MN=$\frac{175}{39}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理及其逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、垂徑定理等知識，具有一定的綜合性，運用相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到∠CQO=90°進(jìn)而得到AB∥CD是解決第（3）小題的關(guān)鍵．