Question

17．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．
（1）求證：四邊形AECF是矩形；
（2）若AB=6，求菱形的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABC是等邊三角形，進而得出∠AEC=90°，四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE的長，進而求出菱形的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），
∴∠AEC=90°，
∵E、F分別是BC、AD的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
又∵∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
所以，S_菱形ABCD=6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了矩形的判定以及菱形的性質(zhì)與面積求法，正確掌握矩形的判定方法是解題關鍵．