Question

（2012•江門(mén)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+4x+5的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求MA+MB的最小值；
（2）求MP-MC的最大值；
（3）當(dāng)M在x軸的正半軸（不包含坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以CP、CM為鄰邊作平行四邊形PCMD．PCMD能否為矩形？若能，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=-x²+4x+5的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，即y=0求出x即可，根據(jù)MA+MB的最小值為AB得出即可；
（2）根據(jù)已知求出C，P兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出MP-MC的最大值為PC長(zhǎng)度，進(jìn)而得出即可；
（3）根據(jù)若PCMD為矩形，則△PCD∽△CMO，利用相似三角形的性質(zhì)得出MO的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）-x²+4x+5=0，
得x₁=-1，x₂=5，
所以A（5，0），B（-1，0），
MA+MB的最小值為AB（或MA+MB≥AB），
即MA+MB的最小值為：MA+MB=AB=6；

（2）由y=-x²+4x+5，
x=0時(shí)，y=5，
即C（0，5），
y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
故P（2，9），
作PD⊥y軸，垂足為D，
則PD=2，CD=9-5=4，
∵只有M，CP在一條直線上時(shí)，MP-MC的值最大為PC，
∴MP-MC的最大值為：PC=

PD2+CD2

=2

5

；

（3）若PCMD為矩形，
即∠PCM=90°，
則∠DCP+∠MCO=90°，∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠CMO=∠DCP，
∵∠COM=∠PDC=90°，
∴△PCD∽△CMO，

PD

CD

=

CO

MO

，

2

4

=

5

MO

，
解得MO=10，
即存在點(diǎn)M（10，0），能使PCMD為矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、矩形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖象得出MP-MC的最大值為PC是解題關(guān)鍵．