Question

17．已知△ABC中，∠CAB=60°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)且∠APB=∠APC=120°，求證：AP²=BP•CP．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ACP=60°-∠CAP，由∠BAP=60°-∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，證得△ABP∽△ACP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵∠APB=∠APC=120°，
∴∠CAP+∠ACP=60°，
∴∠ACP=60°-∠CAP，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAP=60°-∠CAP，
∴∠BAP=∠ACP，
∴△ABP∽△ACP，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{PC}{AP}$，
∴AP²=BP•CP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練正確相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．