Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為(2，4)，直線x=2與x軸相交于點B，連結(jié)OA，拋物線y=x²從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動。

(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)拋物線頂點M的橫坐標為m，
①用m的代數(shù)式表示點P的坐標；
②當m為何值時，線段PB最短；
(3)當線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx， ∵A(2，4)， ∴2k=4， ∴k=2， ∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x； (2)①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動， ∴y=2m(0≤m≤2)， ∴頂點M的坐標為(m，2m)， ∴拋物線函數(shù)解析式為y=(x-m)2+2m， ∴當x=2時，(0≤m≤2)， ∴點P的坐標是(2，)， ②∵， 又∵0≤m≤2， ∴當m=1時，PB最短；

(3)當線段PB最短時，此時拋物線的解析式為， 假設(shè)在拋物線上存在點Q，使， 設(shè)點Q的坐標為(x，)， ①當點Q落在直線OA的下方時，過P作直線PC//AO，交y軸于點C， ∵PB=3，AB=4， ∴AP=1， ∴OC=1， ∴點C的坐標是(0，-1)， ∵點P的坐標是(2，3)， ∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1， ∵， ∴點Q落在直線y=2x-1上， ∴， 解得，即點(2，3)， ∴點Q與點P重合， ∴此時拋物線上不存在點Q，使△QMA與△APM的面積相等； ②當點Q落在直線OA的上方時，作點P關(guān)于點A的對稱稱點D，過D作直線DE//AO，交y軸于點E， ∵AP=1， ∴EO=DA=1， ∴E、D的坐標分別是(0，1)，(2，5)， ∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1， ∵， ∴點Q落在直線y=2x+1上， ∴，解得：， 代入，得， ∴此時拋物線上存在點，使△QMA與△PMA的面積相等， 綜上所述，拋物線上存在點，使△QMA與△PMA的面積相等。