Question

在平面直角坐標系xOy中，反比例函數的圖象與拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1交于點A（3，n）．
（1）求n的值及拋物線的解析式；
（2）過點A作直線BC，交x軸于點B，交反比例函數（x＞0）的圖象于點C，且AC=2AB，求B、C兩點的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點P是拋物線對稱軸上的一點，且點P到x軸和直線BC的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A（3，n）在反比例函數的圖象上，
∴n=，
∴A（3，）．
∵點A（3，）在拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1上，
∴=9+（9m+4）×3+m-1，
∴m=-．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-；

（2）分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，
∴AD∥CE．
∴△ABD∽△CBE．
∴．
∵AC=2AB，
∴．
由題意，得AD=，
∴．
∴CE=4．
即點C的縱坐標為4．
當y=4時，x=1，
∴C（1，4），
∵，DE=2，
∴．
∴BD=1．
∴B（4，0）；

（3）∵拋物線的對稱軸是x=1，
∴P在直線CE上．
過點P作PF⊥BC于F．
由題意，得PF=PE．
∵∠PCF=∠BCE，∠CFP=∠CEB=90°，
∴△PCF∽△BCE．
∴．
由題意，得BE=3，BC=5．
①當點P在第一象限內時，設P（1，a）（a＞0）．
則有．解得．
∴點P的坐標為（1，）．
②當點P在第四象限內時，設P（1，a）（a＜0）
則有．解得a=-6．
∴點P的坐標為（1，-6）．
∴點P的坐標為（1，）或（1，-6）．
分析：（1）由點A（3，n）在反比例函數的圖象上，即可求得n的值，又由點A在拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1上，利用待定系數法即可求得；
（2）首先由AD∥CE，證得△ABD∽△CBE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AD的長，則可求得CE的長，易得點C的坐標，即可求得點B的坐標；
（3）首先求得：拋物線的對稱軸，證得：△PCF∽△BCE，再分別從當點P在第一象限內時，設P（1，a）（a＞0）與當點P在第四象限內時，設P（1，a）（a＜0）利用相似三角形的對應邊成比例求解即可．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．