Question

6．如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到AB．過(guò)B作x軸的垂線、過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．

（1）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1.5）；若m=-3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-1.5）；
（2）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？
（3）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)，然后利用△AOC∽△BOA求得線段BE、AE的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）分0＜m＜8時(shí)和m＞8時(shí)，利用△AOC∽△BEA，根據(jù)相似比表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)后，利用面積為6求得t值即可；
（3）分0＜m＜8、m＞8、-2＜m＜0、m＜-2，根據(jù)△AOC∽△CDB和△AOC∽△BDC兩種情況得到比例式即可求得t值．

解答 解：（1）∵C的坐標(biāo)為（0，4），m=3或-3，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵△AOC∽△BEA且相似比為$\frac{AC}{AB}$=2，AO=3  OC=4
∴AE=2，BE=1.5
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1.5）或（-1，-1.5  ），
故答案為：（5，1.5），（-1，-1.5  ）；       

（2）①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖（1）
△AOC∽△BEA且相似比為$\frac{AC}{AB}$，
求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m+2，$\frac{1}{2}$），
∴S=$\frac{1}{2}$DC•DB=$\frac{1}{2}$（m+2）×（4-$\frac{1}{2}$m）=6，
解得  m=2或4，
②當(dāng)m＞8時(shí)，如圖（2）
S=$\frac{1}{2}$DC•DB=$\frac{1}{2}$（m+2）×（$\frac{1}{2}$m-4）=6，
解得  m=10或m=-4（舍去）
∴m=2，m=4，m=10，

（3）①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖（1）
若△AOC∽△CDB
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{CO}{BD}$即：$\frac{m}{m+2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$
∴m無(wú)解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m=2$\sqrt{5}$-2或m=-2$\sqrt{5}$-2（不合題意舍去），
②當(dāng)m＞8時(shí)，如圖（2）
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{CO}{BD}$即：$\frac{m}{m+2}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}m-4}$，
解得m=±4$\sqrt{5}$+8，取m=4$\sqrt{5}$+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m無(wú)解，
③當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，如圖（3），
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{CO}{BD}$即：$\frac{-m}{m+2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$，
解得m=4$\sqrt{5}$+8（不合題意舍去）或m=-4$\sqrt{5}$+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m無(wú)解，
④當(dāng)m＜-2時(shí)，如圖（4）
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{CO}{BD}$，即：$\frac{-m}{-m-2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$，
則m無(wú)解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m=-2$\sqrt{5}$-2（不合題意舍去）或m=-2$\sqrt{5}$+2（不合題意舍去）；
則m=2$\sqrt{5}$-2，m=4$\sqrt{5}$+8，m=-4$\sqrt{5}$+8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．