Question

1與0交替排列，組成下面形式的一串數(shù)101，10101，1010101，101010101，…，請你回答：在這串數(shù)中有多少個質數(shù)？并證明你的結論．

Answer 1

分析：假設有n個1的數(shù)為An，首先A₁是一個質數(shù)，再根據(jù)n≥2時An均為合數(shù)，分n為偶數(shù)與奇數(shù)兩種情況進行討論．

解答：解：顯然101是質數(shù)，假設有n個1的數(shù)為An，首先A₁是一個質數(shù)，
當n≥2時An均為合數(shù)，當n為偶數(shù)時，顯然An能被101整除，
當n為奇數(shù)時，An×11=111…1（共2n個1），再將它乘以9得999…9（共2n個9），即10²ⁿ-1，即An=

102n-1

99

，
即An=

(10n+1)(10n-1)

99

=[

(10n+1)

11

]×[

10n-1

9

]，
設

(10n+1)

11

=a，

10n-1

9

=b，顯然b是整數(shù)，
而一個數(shù)被11整除的充要條件是奇偶位和的差能被11整除，
而10ⁿ+1的奇數(shù)位和為1，偶數(shù)位和也為1，所以能被11整除，
所以a也是一個不為1的整數(shù)，所以An不是質數(shù)，所以這串數(shù)中有101一個質數(shù)．
故答案為：1．

點評：本題考查的是質數(shù)與合數(shù)，解答此題的關鍵是利用分類討論的思想進行解答．