Question

【題目】如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過點(diǎn) 作，交的延長線于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）如圖2，如果，且，求；

（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）當(dāng)， ；當(dāng)，．

【解析】

（1）先利用角平分線的性質(zhì)，得 ， ，再利用外角、三角形內(nèi)角和進(jìn)行換算即可；

（2）延長AD，構(gòu)造平行相似，得到，再按條件進(jìn)行計(jì)算；

（3）利用△ABC與△ADE相似，得到 ，所以得到 或，再利用三角函數(shù)求值．

（1）如圖1中

∵

∴ ,

∵AD平分

∴ ，同理得

∵ ，

∴

∴

（2）延長AD交BC于點(diǎn)F

∵

∴

BE平分∠ABC

∴

∴

∴

∴ ，

∵

∴

（3）∵△ABC與△ADE相似，

∴∠ABC中必有一個(gè)內(nèi)角和為90°

∵∠ABC是銳角

∴

當(dāng) 時(shí)

∵

∴

∵

∴ ，

∵分別是的內(nèi)角的平分線

∴

∴

∵

∴

代入解得

②當(dāng) 時(shí)

∵△ABC與△ADE相似

∴

∵分別是的內(nèi)角的平分線

∴

∴

此時(shí)

綜上所述，當(dāng)， ；當(dāng)，