Question

定義：P，Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)．
（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是______；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離是______

Answer 1

【答案】分析：（1）m=2時(shí)，線段OA與線段BC間的距離即為兩線段的距離；m=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，求出AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列式求出AB，即為線段OA與線段BC的距離；
（2）先確定出2≤m≤6，再分2≤m≤4時(shí)，d等于兩平行線間的距離，（或過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出BE的長(zhǎng)，即為兩線段的距離）；4≤m≤6，d等于點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離，即為⊙A的半徑；
（3）根據(jù)線段與線段的距離的定義畫(huà)出圖形，可得點(diǎn)M形成的圖形是兩條線段和兩個(gè)半圓，再分別求解即可．
解答：解：（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，線段BC與線段OA的距離等于平行線間的距離，即為2；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長(zhǎng)，
如圖，

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB===；

（2）如圖，

當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
①當(dāng)2≤m＜4時(shí)，d=|n|（-2≤n≤2），
或：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，線段BC與線段OA的距離等于BE長(zhǎng)，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，d===；
②當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
 
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，點(diǎn)M形成的圖形為圖中紅線表示的封閉圖形，

由圖可見(jiàn)，封閉圖形由上下兩段長(zhǎng)度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長(zhǎng)為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)為：16+4π．
故答案為：（1）2，；（2）當(dāng)2≤m≤4時(shí)，d=|n|（-2≤n≤2）或；當(dāng)4≤m≤6時(shí)，d=2；（3）16+4π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了勾股定理，讀懂題目信息，理解線段與線段的距離的定義是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2畫(huà)出點(diǎn)M形成的圖形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．