Question

【題目】如圖，扇形，且，，為弧上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，連接、．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根據(jù)E為直角三角形OCD的內(nèi)心，求出∠OEC=135°，連接BE，證明△OCE≌△OBE，得到∠OEB=135°，得到點(diǎn)E路徑為以OB為弦，所對(duì)圓心角為135°的圓弧，構(gòu)造⊙G，求出∠G=90°，，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：如圖，∵，

∴∠COD+∠OCD=90°，

∵E為直角三角形OCD的內(nèi)心，

∴OE、CE分別平分∠COD、∠OCD，

∴∠OEC=，

連接BE，

∵OE=OE，OC=OC，∠COE=∠BOE

∴△COE≌△BOE

∴∠OEB=∠OEC=135°

∴點(diǎn)E的路徑為以OB為弦，所對(duì)圓心角為135°的圓弧，

過(guò)點(diǎn)O、E、B作圓G，作圓內(nèi)接四邊形OEBF，則∠F=45°，

∴∠G=90°，

∵OG=OB，OB=4，

∴OG=，

∴弧OB長(zhǎng)為：．

故答案為：