Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB．BE⊥AC，垂足分別為D、E、F為BC中點(diǎn)．BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G、H，連接AG．
（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明．若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若AB=BC，求證：AG=BG．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）通過(guò)全等三角形的判定定理AAS證得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即線段BH與AC相等；
（2）證明：如圖，連接CG．易證BE垂直平分AC，則由“垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等”推知AG=CG．易證DF垂直平分BC，則BG=CG，所以依據(jù)等量代換證得AG=BG．

解答：（1）解：線段BH與AC相等．理由如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH與△DCA中，

∠DBH=∠DCA ∠BDH=∠CDA BD=CD

，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC，即線段BH與AC相等；

（2）證明：如圖，連接CG．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．關(guān)鍵是推出△DBH≌△DCA，題目綜合性比較強(qiáng)．