Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一點，過P作⊙O的切線，切點為C，連接AC．若∠CPA=30°，∠CPA的平分線交AC于點M，則∠CMP=    度．

Answer 1

【答案】分析：連接OC．利用切線PC的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余求得∠COP=60°；然后利用等腰三角形AOC以及三角形的外角的性質(zhì)求得∠A=30°；最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CMP=45°．
解答：解：連接OC．
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°；
又∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°（直角三角形的兩個銳角互余）；
而OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠A=∠OCA（等邊對等角），
∴∠COP=2∠A（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠A=30°；
∵PM是∠CPA的平分線，∠CPA=30°，
∴∠MPA=15°，
∠CMP=∠A+∠MPA=45°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．
故答案是：45．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．