Question

如圖2，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，下列結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）．

（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出②錯(cuò)誤；點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．

∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，

∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，（故②錯(cuò)誤）；

點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，則AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；

過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，

則ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

EF=，（故④正確）；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個(gè)．

故選：C．

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理的應(yīng)用；3.菱形的判定與性質(zhì)．