Question

如圖（1）四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，點E在CD的延長線上，∠BAC=∠DAE．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求證：CA平分∠BCD；
（3）如圖（2），設(shè)AF是△ABC的BC邊上的高，求證：EC=2AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的判定定理ASA即可證得．
（2）通過三角形全等求得AC=AE，∠BCA=∠E，進而根據(jù)等邊對等角求得∠ACD=∠E，從而求得∠BCA=∠E=∠ACD即可證得．
（3）過點A作AM⊥CE，垂足為M，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)求得AF=AM，然后證得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，進而證得EC=2AF．

解答：（1）證明：如圖①，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC與△ADE中，

∠BAC=∠DAE AB=AD ∠ABC=∠ADE

，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．

（2）證明：如圖①，∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，∠BCA=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠E=∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）證明：如圖②，過點A作AM⊥CE，垂足為M，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA=∠ACD，
∴AF=AM，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°，
∵AC=AE，∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°，
∴CM=AM=ME，
又∵AF=AM，
∴EC=2AF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角的平分線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．