Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB過點(diǎn)A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）反比例函數(shù)y=$\frac{k_1}{x}$的圖象與直線AB交于第一象限內(nèi)的C、D兩點(diǎn)（BD＜BC），當(dāng)AD=2DB時(shí)，求k₁的值；
（3）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$的圖象于點(diǎn)F，分別聯(lián)結(jié)OE、OF，當(dāng)△OEF∽△OBE時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k₂的值．

Answer 1

分析 （1）先通過解直角三角形求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根據(jù)題意得出$\frac{DE}{OA}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求得DE，即D的橫坐標(biāo)，代入AB的解析式求得縱坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得k₁；
（3）根據(jù)勾股定理求得AB、OE，進(jìn)一步求得BE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得EF的長(zhǎng)，從而求得FM的長(zhǎng)，得出F的坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得k₂．

解答 解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），
∴OA=3，OB=m，
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=2，
∴m=6，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
代入A（3，0）、B（0，6）得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$
解得：b=6，k=-2
∴直線AB的解析式為y=-2x+6；

（2）如圖1，∵AD=2DB，
∴$\frac{DB}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
作DE∥OA，
∴$\frac{DE}{OA}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$OA=1，
∴D的橫坐標(biāo)為1，
代入y=-2x+6得，y=4，
∴D（1，4），
∴k₁=1×4=4；

（3）如圖2，∵A（3，0），B（0，6），
∴E（$\frac{3}{2}$，3），AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵OE是Rt△OAB斜邊上的中線，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，BE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∵EM⊥x軸，
∴F的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
∵△OEF∽△OBE，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{OE}{OB}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{5}}{6}$，
∴EF=$\frac{15}{8}$，
∴FM=3-$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{8}$．
∴F（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{8}$），
∴k₂=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{8}$=$\frac{27}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，求得關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．