Question

19．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∠BED=120°，猜想線段EA、EB、ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 結(jié)論：EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．如圖，在線段BE上截取一點F，使得∠EAF=120°，作AM⊥BE于M，BE、AD交于點O，只要證明△ABF≌△ADE，推出AE=AF，BF=ED，EF=$\sqrt{3}$AE，即可解決問題．

解答 結(jié)論：EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．
理由：如圖，在線段BE上截取一點F，使得∠EAF=120°，作AM⊥BE于M，BE、AD交于點O．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC∥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAF=∠DAE，
∵∠ABF=180°-∠BAD-∠AOB，∠EDA=180°-∠DEO-∠DOE，∠BAO=∠DEO=120°，∠AOB=∠DOE，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADE}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=ED，
∵AM⊥EF，
∴FM=ME，∠FAM=∠MAE=60°，
∴EF=2FM=2×AF•sin60°=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$EA
∴EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．