Question

16．如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG，易得BG=AE且BG⊥AE．

（1）如圖②，將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），
①判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖③證明你的結(jié)論；
②若BC=DE=6，當(dāng)AE取最大值時，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．

解答 解：（1）連接AD．如圖1，

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．
∴∠ADB=90°，且BD=AD．
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，DG=DE．
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
∴∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+DGB=90°，
AE⊥BG；
（2）成立；
連接AD，
∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
△BDG和△AED中，
BD=AD 
∠BDG=∠ADE 
GD=ED 
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
∠AED=∠BGD，
∴∠BGD+DMG=90°，∠DMG=∠EMN
∴∠EMN+∠AED=90°，
∴BG⊥AE；
②∵BG=AE，

∴當(dāng)BG取得最大值時，AE取得最大值．
如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時，BG=AE．
∵BC=DE=EF=6，
∴BG=3+6=9．
∴AE=9．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得，AF=$\sqrt{{AE}^{2}{+EF}^{2}}$=$\sqrt{81+36}$=3$\sqrt{13}$

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．