Question

13．如圖所示，⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D點(diǎn)，OC交AB于E點(diǎn)．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）若CE=3，AD=4，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由∠BAC=45°，易得△OBC是等腰直角三角形，又由AD∥OC，可求得∠D的度數(shù)；
（2）首先證得△ACE∽△DAC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 解：（1）連接OB，
∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°；

（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，
∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，
∴∠AEC=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠ACD=60°，
∴∠CAD=75°，
又∵∠OCA=75°，
∴∠CAD=∠OCA=75°，
∴△ACE∽△DAC，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{CE}{AC}$，
即AC²=AD•CE=4×3=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理．注意證得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是關(guān)鍵．