Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，點C與點D在x軸上，且點A的坐標(biāo)為（1，3）．已知直線經(jīng)過A、C兩點，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、B兩點．
（1）求出C點的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若直線MN為拋物線的對稱軸，E為x軸上的一個動點，則是否存在以E點為圓心，且同時與直線MN和直線AC都相切的圓？如果存在，請求出⊙E的半徑；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點C在x軸上，
∴把y=0代入，
解得：x=5．
∴C點的坐標(biāo)為（5，0）；

（2）∵C點的坐標(biāo)為（5，0），A的坐標(biāo)為（1，3），四邊形ABCD為矩形，
∴B點的坐標(biāo)為（5，3），
∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、B兩點．
∴，
解得：；．
∴；

（3）存在．
①如圖，⊙E與直線MN和直線AC都相切，設(shè)半徑為R，過點E作EF⊥AC，垂足為F．則EH=EF=R．
在Rt△ADC中，由勾股定理得，．
依題意得：CH=DH，GH∥AD，
∴；．
∵∠CFE=∠CHG=90°，∠ECF=∠GCH，
∴△ECF∽△GCH，
∴即，
解得：R=3；
②在對稱軸MN的右側(cè)，同理可求得：．
綜上，符合條件的圓心E有兩點，所對應(yīng)的半徑分別是3和．
分析：（1）本題需先根據(jù)點C在x軸上，得出y=0，再把它代入直線，得出x的值，即可求出C點的坐標(biāo)．
（2）本題根據(jù)C點的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，得出B點的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、B兩點，求出a、b的值，即可求出解析式．
（3）本題需先判斷出存在，再結(jié)合圖形分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)⊙E與直線MN和直線AC都相切時，設(shè)半徑為R，再過點E作EF⊥AC，得出EH、EF的長，再由勾股定理得出AC的值，再由已知條件得出△ECF與△GCH相似，即可求出⊙E的半徑；再結(jié)合圖形當(dāng)在對稱軸MN的右側(cè)，同理也可求出R的值．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時要結(jié)合圖形以及二次函數(shù)的各個知識點，將它們綜合起來解此題是本題的關(guān)鍵．