Question

19．如圖，在△ABC中，AC=BC，在△ABC外部取一點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，且CD平分∠ADB，
（1）求證：∠BCD=∠BAD；
（2）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，將△ADB沿AB翻折點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接CE，若CE⊥BE，求證：CD=3AE．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥AD于E，CF⊥BD于F，根據(jù)垂直的定義得到∠CEA=∠CFB=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=CF，推出Rt△ACE≌Rt△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠FCB，于是得到∠ACB=∠ECF，推出A，D，B，C四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到△ACB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC，在CD上截取CF=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=BD，由于A，C，B，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ECM=∠MBE，證得C，E，M，B四點(diǎn)共圓，于是得到BM=CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AD，∠ABE=∠ABD，證得∠ABE=∠ACM=∠ABD推出△ACE≌△AMB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AM，證得△ADM是等邊三角形，于是得到AD=DM，DF=2AD，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過C作CE⊥AD于E，CF⊥BD于F，
∴∠CEA=∠CFB=90°，
∵CD平分∠ADB，
∴CE=CF，
在Rt△ACE與Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF，
∴∠ACE=∠FCB，
∴∠ACB=∠ECF，
∵∠ECF+∠ADB=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴A，D，B，C四點(diǎn)共圓，
∴∠BCD=∠BAD；

（2）∵∠ACB=60°AC=BC，
∴△ACB是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
在CD上截取CF=AD，
在△BCF與△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AD}\\{∠DCB=∠BAD}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ADB，
∴BF=BD，
∵A，C，B，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ECM=∠MBE，
∵∠BAD=∠DCB=180°-∠ADB-∠ABD=60°-∠ABD，∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-∠ABE，
∴∠BAD=∠EBC，
∴C，E，M，B四點(diǎn)共圓，
∴BM=CE，
∵將△ADB沿AB翻折點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，
∴AE=AD，∠ABE=∠ABD，
∴∠ABE=∠ACM=∠ABD，
∵∠ECM=∠EBM，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ACE與△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ABM=∠ACE}\\{BM=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AMB，
∴AE=AM，
∵∠ADC=60°，
∴△ADM是等邊三角形，
∴AD=DM，DF=2AD．
∴CD=CF+DF=3AD．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，折疊的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．