Question

（2013•迎江區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD⊥DE，且DE交AB于點(diǎn)E，CF⊥AB交AD于點(diǎn)G，F(xiàn)為垂足，
（1）求證：△ACG∽△DBE；
（2）CD=BD，BC=2AC時，求

DE

AD

．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，根據(jù)等角的余角相等，易證得∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，繼而可證得△ACG∽△DBE；
（2）首先過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，易證得△BEH∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得EH：AC=BH：BC=DE：AD，易證得△DEH是等腰直角三角形，則可求得BH：BC=1：3，則可求得答案．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∠ADC+∠BDE=90°，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，
∴△ACG∽△DBE；

（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，
∵∠ACB=90°，
∴EH∥AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴EH：AC=BH：BC=DE：AD，
∴AC：BC=EH：BH，
∵CD=BD，BC=2AC，BC=CD+BD，
∴AC=CD=BD，
∴∠ADC=45°，
∵AD⊥DE，
∴∠EDH=45°，
∴DH=EH，
∴EH：BH=AC：BC=1：2，
∴EH=DH=

1

2

BH，
∴BH：BC=

2

6

=

1

3

，
即EH：AC=1：3，
∴

DE

AD

=

1

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．