Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A（1，2），與x軸相交于另一點B．
（1）求：二次函數(shù)y₁的解析式及B點坐標；
（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數(shù)y₂，已知二次函數(shù)y₂與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點．點P在線段OC上，從O點出發(fā)向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運動）；
①當點E在二次函數(shù)y₁的圖象上時，求OP的長．
②若點P從O點出發(fā)向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點Q從C點出發(fā)向O點做勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動）．過Q點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當Q點運動時，點G、點M、點N也隨之運動），若P點運動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A（1，2），
∴將（0，0），代入得出：
c=0，
將（1，2）代入得出：
a+3=2，
解得：a=-1，
故二次函數(shù)解析式為：y₁=-x²+3x，
∵圖象與x軸相交于另一點B，
∴0=-x²+3x，
解得：x=0或3，
則B（3，0）；

（2）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴=，
即=，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=；
即OP=．

②如圖1：

當點F、點N重合時，有OF+CN=6，
∵直線AO過點（1，2），
故直線解析式為：y=2x，
當OP=t，
則AP=2t，
∵直線AC過點（1，2），（6，0），
代入y=ax+b，
，
解得：，
故直線AC的解析式為：y=-x+，
∵當OP=t，QC=2t，
∴QO=6-2t，
∴GQ=-（6-2t）+=t，
即NQ=t，
∴OP+PN+NQ+QC=6，
則有3t+2t+t=6，
解得：t=；
如圖2：

當點F、點Q重合時，有OF+CQ=6，則有3t+2t=6，
解得：t=；
如圖3：

當點P、點N重合時，有OP+CN=6，則有t+2t+t=6，
解得：t=，
如圖4：

當點P、點Q重合時，有OP+CQ=6，則有t+2t=6，
解得：t=2．
故此刻t的值為：t₁=，t₂=，t₃=，t₄=2．
分析：（1）利用二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；
②分別利用當點F、點N重合時，當點F、點Q重合時，當點P、點N重合時，當點P、點Q重合時，求出t的值即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)已知結(jié)合圖象分類討論得出t的值是解題關鍵．