Question

如果一個矩形的寬與長的比是黃金比，那么這個矩形稱為黃金矩形．如圖，已知四邊形ABCD為黃金矩形，以它的寬為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一個黃金矩形，你能證明這個結(jié)論嗎？

Answer 1

考點：黃金分割,相似多邊形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)黃金分割設(shè)出矩形ABCD的長和寬，然后表示出矩形BCFE的寬，再求出寬與長的比值即可得證．

解答：證明：設(shè)矩形ABCD的長為x，
∵四邊形ABCD為黃金矩形，
∴寬BC為

5 -1

2

x，
∵四邊形AEFD是正方形，
∴BE=x-

5 -1

2

x=

3- 5

2

x，
∴

BE

BC

=

3- 5 2 x

5 -1 2 x

=

3- 5

5 -1

=

(3- 5 )( 5 +1)

( 5 -1)( 5 +1)

=

2 5 -2

4

=

5 -1

2

，
∴BE與BC的比是黃金比，
∴剩下的矩形BCFE也是一個黃金矩形．

點評：本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵，要熟記黃金分比．