Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（2，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上．
（1）求過點A、B兩點的直線解析式；
（2）在運動的過程中，當△ABC周長最小時，求點C的坐標；
（3）在運動的過程中，當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，求點C的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得B′點，根據(jù)線段的性質(zhì)，可得AB′，根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的值，可得相應的函數(shù)值；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC=BC，根據(jù)解方程，可得C點的坐標．

解答：解：（1）設AB的解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過點（2，4）和（3，0），得

2k+b=4① 3k+b=0②

，解得

k=-4 b=12

，
AB兩點的直線解析式y(tǒng)=-4x+12；
（2）如圖1：
，
作B點關于y軸的對稱點B′，連接AB′，交y軸于C點，
B′點的坐標是（-3，0），
設AB′的函數(shù)解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過（-3，0），（2，4），得

-3k+b=0 2k+b=4

，
解得

k= 4 5 b= 12 5

．
AB′的函數(shù)解析式為y=

4

5

x+

12

5

，
自變量的值為零時，y=

12

5

當△ABC周長最小時，C點坐標為（0，

12

5

）；
（3）圖2：
，
設C點坐標為（0，a），當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，BC=AC，平方，得
BC²=AC²，2²+（4-a）²=3²+a²，
化簡，得8a=11，
解得a=

11

8

，
故點C的坐標為(0，

11

8

)．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短；（3）利用了等腰三角形的判定．