Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；

（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根據(jù)題意，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．

（2）由y=﹣x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），

∴CD==，

BC==3，

BD==2，

∵CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=20，

∴CD²+BC²=BD²，

∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=

y=﹣x²+2x+3對稱軸為直線x=1．

①若以CD為底邊，則PD=PC，

設P點坐標為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式，

得x²+（3﹣y）²=（x﹣1）²+（4﹣y）²，

即y=4﹣x．

又P點（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x=﹣x²+2x+3，

即x²﹣3x+1=0，

解得x₁=，x₂=＜1，應舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即點P坐標為（，）．

②若以CD為一腰，

∵點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，

此時點P坐標為（2，3）．

∴符合條件的點P坐標為（，）或（2，3）．