Question

20．如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，過O作兩條互相垂直的直線，分別交四邊形ABCD于E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形解答．

解答 證明：連接AO，CO．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EAO和△CGO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OH=OF
又∵HF⊥EG，
∴四邊形EFGH是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟記性質(zhì)并求出三角形全等從而得到對角線被互相平分是解題的關(guān)鍵．