Question

2．已知：如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C（0，5），另拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，8），M為它的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積S_△MCB．
（3）在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)N，滿足△BCN為直角三角形？如存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，5），（1，8）三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式，解方程組即可．
（2）先求出M、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)S_△MCB=S_梯形MEOB-S_△MCE-S_△OBC即可解決問題．
（3）分三種情①C為直角頂點(diǎn)；②B為直角頂點(diǎn)；③N為直角頂點(diǎn)；分別求解即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0），C（0，5），（1，8），
則有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{a+b+c=8}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）令y=0，得（x-5）（x+1）=0，x₁=5，x₂=-1，
∴B（5，0）．
由y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，得頂點(diǎn)M（2，9）
如圖1中，作ME⊥y軸于點(diǎn)E，

可得S_△MCB=S_梯形MEOB-S_△MCE-S_△OBC=$\frac{1}{2}$（2+5）×9-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×5×5=15．   

（3）存在．如圖2中，

∵OC=OB=5，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，N₁（-5，0）．
②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，N₂（0，-5）．
③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，N₃（0，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，0）或（0，-5）或（-5，0）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形的面積、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求面積，學(xué)會分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．