Question

8．已知直線l：y=kx（k＜0），將直線y=kx沿y軸向下平移m（m＞0）個單位得到直線y=kx-m，平移后的直線與拋物線y=ax²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，拋物線y=ax²經(jīng)過點P（6，-9）．
（1）求a的值；
（2）如圖1，當(dāng)∠AOB＜90°時，求m的取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線y=ax²向右平移一個單位，再向上平移n個單位（n＞0）．若第一象限的拋物線上存在點M，N兩點，且M，N兩點關(guān)于直線y=x軸對稱，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點P（6，-9）的坐標(biāo)代入y=ax²，即可求出a的值；
（2）將y=kx-m代入y=-$\frac{1}{4}$x²，得$\frac{1}{4}$x²+kx-m=0，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及根與系數(shù)的關(guān)系得出y₁=-$\frac{1}{4}$x₁²，y₂=-$\frac{1}{4}$x₂²，x₁•x₂=-4m，那么y₁•y₂=m²．當(dāng)∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．證明△AOM∽△OBN，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出y₁•y₂=-x₁•x₂，依此列出關(guān)于m的方程，求出m的值，進而得出當(dāng)∠AOB＜90°時，m的取值范圍；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出直線y=x是線段MN的垂直平分線，如圖2，設(shè)直線MN的解析式為y=-x+b，與平移后的拋物線y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n交于M、N兩點，交x軸于E點，分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，設(shè)M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）．利用AAS證明△OMG≌△ONH，得出MG=HN，即MG=HE．將y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n代入y=-x+b得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{4}$+b-n=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得m₁+m₂=6，則b=6，那么$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{25}{4}$-n=0，再根據(jù)△＞0以及M，N在第一象限分別列出不等式，進而求出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²經(jīng)過點P（6，-9），
∴36a=-9，
解得a=-$\frac{1}{4}$；                                         

（2）將y=kx-m代入y=-$\frac{1}{4}$x²，得$\frac{1}{4}$x²+kx-m=0，
∵y=kx-m與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∴y₁=-$\frac{1}{4}$x₁²，y₂=-$\frac{1}{4}$x₂²，x₁•x₂=-4m，
∴y₁•y₂=（-$\frac{1}{4}$x₁²）•（-$\frac{1}{4}$x₂²）=$\frac{1}{16}$•（-4m）²=m²．
當(dāng)∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．
在△AOM與△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠BNO=90°}\\{∠OAM=∠BON=90°-∠AOM}\end{array}\right.$，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{x}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴y₁•y₂=-x₁•x₂，
∴m²=4m，
∵m＞0，
∴m=4，
∴當(dāng)∠AOB＜90°時，m＞4；

（3）∵M，N兩點關(guān)于直線y=x軸對稱，
∴直線y=x是線段MN的垂直平分線，
∴直線MN的斜率為-1，OM=ON，
∴∠MOP=∠NOP，
∵∠GOP=∠HOP=45°，
∴∠GOM=∠HON．
如圖2，設(shè)直線MN的解析式為y=-x+b，與平移后的拋物線y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n交于M、N兩點，交x軸于E點．分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，
設(shè)M（m₁，n₁），N（m₂，n₂），直線MN與直線y=x交于點P．
在△OMG與△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOM=∠HON}\\{∠OGM=∠OHN}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH，
∴MG=HN，即MG=HE．
將y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n代入y=-x+b得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{4}$+b-n=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得m₁+m₂=6，
∵OE=HE+OH=MG+OH=m₁+m₂=6，
∴b=6．
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{25}{4}$-n=0，
∵△＞0，
∴（-$\frac{3}{2}$）²-4×$\frac{1}{4}$×（$\frac{25}{4}$-n）＞0，
解得n＞4．
又M，N在第一象限，
∴m₁•m₂=4（$\frac{25}{4}$-n）＞0，
解得n＜$\frac{25}{4}$，
∴n的取值范圍是4＜n＜$\frac{25}{4}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，互相垂直的兩直線斜率之積為-1的性質(zhì)，解析式平移的規(guī)律，根的判別式等知識，綜合性較強，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．