Question

3．如圖，已知在正方形ABCD中，AC與BD交與點(diǎn)O，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F在相同的時(shí)間、以相同的速度分別在AB、BC上從點(diǎn)A向B和從點(diǎn)B向C方向移動(dòng)，是判斷在E、F移動(dòng)的期間：
（1）DG與AH是否保持某種不變的關(guān)系；若能請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不能也請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（2）判定DE與AF的位置關(guān)系，GH與DC的位置關(guān)系也仿照（1）加以討論．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：DG=AH，且DG⊥AH．由△DAE≌△ABF，推出∠ADG=∠BAH，再證明△ADG≌△ABH，推出DG=BH，由∠BAH+∠HAD=90°，∠BAH=∠ADG，推出∠HAD+∠ADG=90°，推出∠APD=90°，即可解決問(wèn)題．
（2）①結(jié)論：DE⊥AF．（1）中已經(jīng)證明．②結(jié)論：GH∥CD．由△AOH≌△DOG，推出OG=OH，推出∠OGH=∠OHG=45°，由∠OCD=45°，推出∠HGO=∠OCD，推出GH∥CD即可．

解答 解：（1）結(jié)論：DG=AH，且DG⊥AH．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，
在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴∠ADG=∠BAH，
∵∠DAG=∠ABH=45°，
在△ADG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠BAH}\\{AD=AB}\\{∠DAG=∠ABH}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABH，
∴DG=BH，
∵∠BAH+∠HAD=90°，∠BAH=∠ADG，
∴∠HAD+∠ADG=90°，
∴∠APD=90°，
∴DG⊥AH．

（2）①結(jié)論：DE⊥AF．
理由：由（1）可知：DE⊥AF，
②結(jié)論：GH∥CD．
理由：∵∠APD=∠AOD=90°，∠AGP=∠DGO，
∴∠PAG=∠GDO，
在△AOH和△DOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠GDO}\\{∠AOH=∠DOG}\\{AH=DG}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△DOG，
∴OG=OH，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∵∠OCD=45°，
∴∠HGO=∠OCD，
∴GH∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．