Question

【題目】如圖，C，D為⊙O上兩點，且在直徑AB兩側，連結CD交AB于點E，G是上一點，∠ADC＝∠G．

（1）求證：∠1＝∠2；

（2）點C關于DG的對稱點為F，連結CF，當點F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據∠ADC＝∠G得，進而可得，由此可得∠1＝∠2；

（2）連接OD、FD，先證FC＝FD，FD＝CD，進而可得FC＝FD＝CD＝10，DE＝CD＝5，再根據tan∠1＝可得BE＝2，設OB＝OD＝x，則OE＝5－x，根據勾股定理即可求得⊙O的半徑．

（1）證明：∵∠ADC＝∠G，

∴，

∵AB為⊙O的直徑，

∴

∴，

∴，

∴∠1＝∠2；

（2）解：連接OD、FD，

∵，，

∴點C、D關于直徑AB對稱，

∴AB垂直平分CD，

∴FC＝FD，CE＝DE＝CD，∠DEB＝90°，

∵點C關于DG的對稱點為F，

∴DG垂直平分FC，

∴FD＝CD，

又∵CF＝10，

∴FC＝FD＝CD＝10，

∴DE＝CD＝5，

∵在Rt△DEB中，tan∠1＝

∴，

∴，

∴BE＝2，

設OB＝OD＝x，則OE＝5－x，

∵在Rt△DOE中，，

∴，

解得：

∴⊙O的半徑為．