Question

3．因式分解：
（1）（x²+xy+y²）²-4xy（x²+y²）
（2）（a²+1）²+（a²+5）²-4（a²+3）²．

Answer 1

分析 （1）本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
（2）根據(jù)完全平方公式以及多項式的計算法則對給出的多項式計算整理可得：-2a⁴-12a²-10，再利用提公因式法以及十字相乘法即可把多項式因式分解．

解答 解：（1）原式=[（x+y）²-xy]²-4xy[（x+y）²-2xy]．
令x+y=u，xy=v，則
原式=（u²-v）²-4v（u²-2v），
=u⁴-6u²v+9v²，
=（u²-3v）²，
=（x²+2xy+y²-3xy）²，
=（x²-xy+y²）²．
（2）原式=a⁴+2a²+1+a⁴+10a²+25-4a⁴-24a²-36，
=-2a⁴-12a²-10，
=-2（a⁴+6a²+5），
=-2（a²+1）（a²+5）．

點評 本題考查了分解因式，公式法分解因式以及提公因式法和十字相乘法分解因式，難度較大．熟練掌握運算法則和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．注意二元對稱式，用換元法分解因式比較簡便．