Question

已知雙曲線經(jīng)過(guò)△AEO的頂點(diǎn)A，且AE=AO=5，tan∠AOE=，直線y=kx+b與雙曲線相交于A，F(xiàn)兩點(diǎn)，且F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，n）
（1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）連接EF，求△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）作AB⊥OE于E點(diǎn)，如圖，
∵AO=AE，
∴OB=EB，
在RtAOB中
∵tan∠AOB==，
設(shè)AB=4x，則OB=3x，
∴OA==5x，
而AO=5，
∴x=1，
∴AB=4，OB=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y=得m=-3×4=-12，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-，
把F（6，n）代入y=-得6n=-12，解得n=-2，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-2），
把A（-3，4）、F（6，-2）代入y=kx+b得
，解得，
故一次函數(shù)的解析式為：y=-；

（2）如圖，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），E點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），
S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC=×9×4+×9×2=18+9=27．
分析：（1）作AB⊥OE于E點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OB=EB，利用正切的定義得tan∠AOB==，設(shè)AB=4x，則OB=3x，根據(jù)勾股定理得OA=5x，則x=1，于是AB=4，OB=3，
得到A（-3，4），把它代入反比例函數(shù)解析式求出k，接著確定F點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（3，0），再根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)確定E點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC進(jìn)行計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式．