Question

如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線且DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：AB=AC；
（2）若⊙O的半徑為3，BE=1，求tanF的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由DE是⊙O的切線，得OD⊥DE，再根據(jù)DE⊥AB，得OD∥AB，從而得出∠ODC=∠B，即可得出∠B=∠ODC，則AB=AC；
（2）由（1）可知，OD∥AE，則

FO

FA

=

OD

AE

，代入數(shù)據(jù)求出FC=

3

2

，OF=

9

2

，再由勾股定理，得OD=

3

2

5

，從而得出tanF的值．

解答：（1）證明：連接OD．
∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴

FO

FA

=

OD

AE

，
∴

FC+OC

FC+AC

=

OD

AB-BE

∴

FC+3

FC+6

=

3

6-1

∴FC=

3

2

，OF=

9

2

．
在△OFD中，∵OF²=OD²+FD²，
∴OD=

3

2

5

，
∴tanF=

OD

DF

=

3

3 2 5

=

2

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、平行線分線段成比例定理以及銳角三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．