Question

2．某網(wǎng)店試營銷一種新產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營銷期為18天，銷售價(jià)y（元/件）與銷售時(shí)間x（天）滿足：當(dāng)10≤x≤18時(shí)，y=k₁x+30；當(dāng)1≤x≤9時(shí)，y=$\frac{{k}_{2}}{x}$+20．在試營銷期間，銷售量p=30-x；已知當(dāng)x=5或12時(shí)，y=32.5
（1）求k₁，k₂的值；
（2）求該網(wǎng)店的銷售利潤w（元）與銷售天數(shù)x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）網(wǎng)店試營銷期間，第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以分別求出k₁，k₂的值；
（2）由題意可以得到該網(wǎng)店的銷售利潤w（元）與銷售天數(shù)x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)第二問求得的函數(shù)關(guān)系式分別討論可以求得第幾天獲得最大利潤，同時(shí)可以求得最大利潤是多少．

解答 解；（1）∵當(dāng)x=5或12時(shí)，y=32.5，
∴$32.5=\frac{{k}_{2}}{5}+20$或32.5=k₁×12+30，
解得，${k}_{1}=\frac{5}{24}，{k}_{2}=62.5$，
即，${k}_{1}=\frac{5}{24}，{k}_{2}=62.5$；
（2）由題意可得，
w=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{62.5}{x}+20-20）×（30-x）（1≤x≤9）}\\{（\frac{5}{24}x+30-20）×（30-x）（10≤x≤18）}\end{array}\right.$
化簡(jiǎn)，得
w=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1875}{x}-62.5（1≤x≤9）}\\{-\frac{5}{24}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+300（10≤x≤18）}\end{array}\right.$
即該網(wǎng)店的銷售利潤w（元）與銷售天數(shù)x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式是：w=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1875}{x}-62.5（1≤x≤9）}\\{-\frac{5}{24}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+300（10≤x≤18）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)1≤x≤9時(shí)，$w=\frac{1875}{x}-62.5$中w隨x的增大而減小，故x=1時(shí)，w取到最大，此時(shí)w=$\frac{1875}{1}-62.5=1812.5$（元），
當(dāng)10≤x≤18時(shí)，$w=-\frac{5}{24}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+300$的對(duì)稱軸為：x=$-\frac{-\frac{15}{4}}{2×（-\frac{5}{24}）}=-9$，
當(dāng)x＞-9時(shí)，w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=10時(shí)取得最大值，此時(shí)w=$-\frac{5}{24}×1{0}^{2}-\frac{15}{4}×10+300$=$\frac{725}{3}$（元），
∵1812.5$＞\frac{725}{3}$，
∴網(wǎng)店試營銷期間，第1天獲得的利潤最大，最大利潤是1812.5元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意可以分別求出函數(shù)的解析式，并且可以求函數(shù)的最值．