Question

如圖，△ABC與△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=

2

．現將△DEF與△ABC按如圖所示的方式疊放在一起．現將△ABC保持不動，△DEF運動，且滿足：點E在邊BC上運動（不與B、C重合），且邊DE始終經過點A，EF與AC交于M點．請問：在△DEF運動過程中，△AEM能否構成等腰三角形？若能，請求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：分若AE=AM 則∠AME=∠AEM=45°、若AE=EM、若MA=ME 則∠MAE=∠AEM=45°三種情況分類討論即可得到答案；

解答：解：①若AE=AM 則∠AME=∠AEM=45°
∵∠C=45°
∴∠AME=∠C
又∵∠AME＞∠C
∴這種情況不成立；

②若AE=EM
∵∠B=∠AEM=45°
∴∠BAE+∠AEB=135°，∠MEC+∠AEB=135°
∴∠BAE=∠MEC
在△ABE和△ECM中

∠B=∠C ∠BAE=∠CEM AE=EM

∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=

2

∵BC=

AB2+BC2

=2
∴BE=2-

2

；

③若MA=ME 則∠MAE=∠AEM=45°
∵∠BAC=90°∴∠BAE=45°
∴AE平分∠BAC
∵AB=AC∴BE=

1

2

BC=1．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，特別是本題中滲透的分類討論的數學思想，是中考的重點．