Question

關于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使方程的兩個實數根之和等于兩實數根之積的算術平方根？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于關于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根，那么它的判別式△應該是大于0，由此可以建立關于k的不等式，解不等式即可求出實數k的取值范圍；
（2）首先利用根與系數的關系求出兩根之和和兩根之積，然后利用：方程的兩個實數根之和等于兩實數根之積的算術平方根，即可列出關于k的方程，解方程即可求出k的值，再判斷是否在（1）求出的k的范圍內即可．

解答：解：（1）依題意得△=(k+2)2-4k•

k

4

＞0，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1且k≠0；
（2）解：不存在符合條件的實數k，使方程的兩個實數根之和等于兩實數根之積的算術平方根，
理由是：設方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0的兩根分別為x₁，x₂，
由根與系數的關系有：

x1+x2=- k+2 k x1x2= 1 4

，
∵方程的兩個實數根之和等于兩實數根之積的算術平方根，
∴-

k+2

k

=

1

2

，
∴k=-

4

3

，
由（1）知，k＞-1，且k≠0，
∴k=-

4

3

舍去，
因此不存在符合條件的實數k，使方程的兩個實數根之和等于兩實數根之積的算術平方根．

點評：本題重點考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．