Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AD上一個動點，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當點A的對應點A₁恰落在∠BCD的平分線上時，CA₁的長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}±1$
• C． 2$\sqrt{2}$±1
• D． $\sqrt{6}±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；證明MA₁=MC（設為λ），此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；在△BMA₁中，運用勾股定理列出關(guān)于λ的方程，求出λ，根據(jù)CA₁=$\sqrt{2}$λ，即可解決問題．

解答 解：如圖，如圖，過點A₁作A₁M⊥BC，A₁N⊥CD；
∵四邊形ABCD為矩形，且CA₁平分∠MCN，
∴∠MCA₁=∠MA₁C，
∴MA₁=MC（設為λ），
則BM=4-λ；由題意得：BA₁=BA=3；
由勾股定理得：λ²+（4-λ）²=3²，
解得：λ=2±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CA₁=$\sqrt{2}λ$=2$\sqrt{2}$±1，
故選C．

點評 該題以矩形為載體，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、解答．