Question

如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點，且BD=BC，點E、F分別是DC、AB的中點．求證：
（1）EF=

1

2

AB；
（2）過A點作AG∥EF，交BE的延長線于點G，則BE=GE．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）連接BE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=

1

2

AB；
（2）求出AF=EF，再根據(jù)等邊對等角可得∠AEF=∠EAF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEF=∠EAG，從而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=GE．

解答：（1）證明：如圖，連接BE，
∵BD=BC，點E是CD的中點，
∴BE⊥AC，
∵點F是AB的中點，
∴EF=

1

2

AB；

（2）解：∵AF=EF=

1

2

AB，
∴∠AEF=∠EAF，
∵AG∥EF，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG，
又∵BE⊥AC，
∴BE=GE（等腰三角形三線合一）．

點評：本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．