Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點F，EF=EC，連接DF．
（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=

2

，試判斷△DCF的形狀；
（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形進(jìn)行判斷；
（2）如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，
（3）分四種情況，分別計算．

解答：解：（1）證明：∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，
∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，
證明：∵DE=EC，EF=EC，
∴EF=

1

2

CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，且AD=1，BC=3，
∴CF=

1

2

（BC-AD）=1，
∵DC=

2

，
∴由勾股定理得：DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四種情況：
∵DF⊥BC，
∴當(dāng)PF=CF時，△PCD是等腰三角形，
即PF=1，
∴PB=1；
當(dāng)P與F重合時，△PCD是等腰三角形，
∴PB=2；
當(dāng)PC=CD=

2

（P在點C的左側(cè)）時，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3-

2

；
當(dāng)PC=CD=

2

（P在點C的右側(cè)）時，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3+

2

．
故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3-

2

，PB=3+

2

．（每個1分）

點評：考查等腰梯形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定．